Toán học và những nhầm lẫn mọi người đều mắc phải

Sẽ thật tiếc nếu bạn đang sợ hãi toán, chỉ vì những trải nghiệm không mấy vui vẻ với môn học này từ những ngày còn ngồi ở ghế nhà trường. Vì trên đời này rất ít thứ vừa đẹp, vừa tinh tế mà lại miễn phí cho tất cả mọi người như toán.

Bài viết này thể hiện góc nhìn của một người trong ngành được đăng tải trên Monster Box giúp các bạn hiểu rõ hơn về Toán học.

Toán là tính?

Có nhiều cá nhân sở hữu khả năng tính nhẩm và ghi nhớ (mental math) nhanh, chẳng hạn như nhân hai số với hơn 10 chữ số, nhớ hàng nghìn chữ số thập phân của số π hay khai căn bậc 5 của một số với hàng chục chữ số… và họ thường coi là giỏi toán, thậm chí được gọi là thần đồng dưới con mắt của số đông. Mặc dù không thể phủ nhận rằng để đạt được những kỹ năng như vậy đòi hỏi sự tập trung và rèn luyện ở cường độ cao, nhưng việc vội vàng gán cho những cá nhân giỏi tính nhẩm là giỏi toán có phần khiên cưỡng và mang tính kết luận ẩu. Sự thật, tính toán chỉ là phần mang tính bề nổi và không hề đại diện cho toàn bộ toán học.

Toán học xuất hiện khá sớm. Các đế chế ở khu vực Lưỡng Hà hay Ai Cập cổ đại đã bắt đầu sử dụng toán cho mục đích thương mại, thiên văn, làm lịch… (từ geometry – hình học, vốn có nghĩa là đo đạc đất). Toán học lúc này vẫn còn sơ khai, và công việc chính vẫn là tính. Người Hy Lạp đã phát triển phương pháp suy diễn logic và tính chặt chẽ, từ đó chính thức đưa toán học trở thành một môn khoa học. Kể từ đó, công việc chính của toán học đã trở thành chứng minh, thay vì tính toán.

Các khía cạnh quan trọng hơn tính toán của toán học là: thấu hiểu, phát hiện hình mẫu (pattern finding), suy luận logic và tư duy sáng tạo. Suy rộng ra, việc thực sự “làm toán” khác rất nhiều so với cách môn toán đang được dạy ở trường học. Khi “làm toán”, các bài toán sẽ xuất hiện một cách khá tự nhiên; chúng có thể đến từ thực tế, từ những lĩnh vực khoa học khác hoặc từ chính toán học (do sự thấu hiểu sâu sắc mang lại). Khi đó, chúng ta sẽ phải đi tìm một lời giải không có sẵn. Trái lại, môn toán ở trường học thường là những bài toán đã có sẵn lời giải, và chúng ta được hướng dẫn để làm theo một khuôn mẫu cho trước. Điều này giống với việc tính nhẩm hay ghi nhớ – chúng ta việc giải các bài toán theo một phương pháp có sẵn. Để dễ hình dung, nếu bạn dùng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai, bạn chỉ đang tính toán đơn thuần; nhưng nếu bạn chưa từng nghe đến công thức nghiệm và tự suy ra, bạn đang làm toán.

Với sự ra đời của máy tính (mà mục đích ban đầu đúng như cái tên: compute – điện toán), công việc tính toán nặng nhọc đã được giảm đi đáng kể, vì thế con người có thể dành thời gian và công sức cho những vấn đề toán học hay ho hơn. Điều tương tự cũng xảy ra trước đó với trường hợp của John Napier: vì quá mệt mỏi với việc nhân các số có nhiều chữ số, Napier đã suy nghĩ rằng “giá mà thay phép nhân bằng phép cộng được”. Từ đó ông đã phát minh ra lô-ga-rít. Công trình này đặc biệt quan trọng, vì nó đã giảm khối lượng tính toán cho các nhà khoa học. Câu chuyện này là một ví dụ về sự khác nhau giữa tính toán đơn thuần và “làm toán” thực sự.

Sau cùng, các nhà toán học có phải tính toán nhiều không? Câu trả lời là có, nhưng các công cụ tính toán của họ không chỉ gồm các con số hay phép toán đơn thuần. Dù vậy, chúng ta vẫn có những cá nhân như:

– Leonhard Euler là một nhà toán học với khả năng tính nhẩm và ghi nhớ phi thường. Dù khiếm thị, ông có thể tính nhẩm nhanh hơn người phụ tá ghi chép cho mình (ở thời của ông, chưa có máy tính, vì thế tính toán vẫn rất quan trọng). Ông có nhiều đóng góp quan trọng trong toán học. Trong năm 1775, ông đã công bố trung bình mỗi tuần một bài báo toán học – một tốc độ đáng nể.

– Arthur Benjamin là một nhà toán học với chuyên môn là tổ hợp. Ông còn được biết đến với khả năng tính nhẩm nhanh, thường biểu diễn trước nhiều khán giả, và gọi đó là “ảo thuật toán học” (mathemagic).

Tuy nhiên, nhìn chung các nhà toán học không nhất thiết phải xuất sắc trong việc tính nhẩm số học. Chúng ta có:

– Ernst Kummer là một nhà toán học với những đóng góp lớn trong ngành lý thuyết số (lĩnh vực nghiên cứu về những con số). Có một giai thoại kể rằng, trong một lần giảng bài, Kummer đã nhờ sinh viên tính 7×9. Một sinh viên nói “61”, một sinh viên khác: “69”. “Thôi nào các bạn” – Kummer đáp – “kết quả phải là một trong hai chứ không thể là cả hai được.”

Nhìn chung, kỹ năng tính nhẩm hay ghi nhớ đối với toán học cũng giống như kỹ năng đánh vần đối với ngôn ngữ học. Ngay cả khi đã thuần thục ở cấp cao, khả năng này nên được xem như mang tính giải trí đơn thuần, thay vì liên hệ với khả năng làm toán thực sự.

Nhà toán học Alexander Grothendieck

Toán học máy móc, hình thức, giáo điều?

Trong con mắt của số đông, toán học luôn phức tạp hóa mọi thứ một cách quá đáng. Thậm chí, không ít người cho rằng toán học rối hoàn toàn không có liên hệ gì với thực tế. Lý do thực sự của việc xây dựng hằng hà sa số những lý thuyết rối rắm đó là gì? Bản thân tôi cho rằng, toán học là một trò chơi trí tuệ, và vì thế phải có luật chơi. “Luật chơi” của toán học là tính hình thức (formalism) – gồm những tiên đề và những quy tắc suy diễn hiển nhiên đến không thể chối cãi được. Từ những viên gạch nhỏ nhất đó, các nhà toán học xây dựng nên một hệ thống hoàn chỉnh các lý thuyết, định lý… bằng các chứng minh hình thức. Trong toán học, chỉ khi có một hệ thống logic hình thức đủ mạnh, người ta mới có thể suy nghĩ các vấn đề một cách thấu đáo, đến tận bản chất (nói cách khác, thực ra toán học đang cố đơn giản hóa mọi thứ). Dù vậy, toán học không phải là tuyệt đối hình thức hay không cần đến trực giác. Theo Terence Tao (người được coi như “Mozart của toán học”), việc dạy và học toán có thể chia thành ba giai đoạn:

– Giai đoạn “trước chặt chẽ”: Người học chưa làm biết đến tính hình thức. Các định nghĩa đều cảm tính, chưa chặt chẽ. Việc học chủ yếu tính toán và học thuộc lòng những quy tắc có sẵn. Công việc “chứng minh” ở giai đoạn này rất khó khăn; người học thường mắc lỗi logic, không chặt chẽ, ngộ nhận, bởi vì họ không hiểu cách vận hành của tính hình thức. Rất khó để người học ở giai đoạn này có thể nhận ra và sửa sai sót của mình, ngay cả khi được chỉ cho chỗ sai.

– Giai đoạn “chặt chẽ”: Người học đang làm quen với tính hình thức. Họ được dạy để thực sự làm toán. Họ sẽ phải quay lại với những câu hỏi căn bản nhất như “số thực là gì”, “chứng minh rằng -(-1) = 1”,… dưới góc nhìn hình thức. Lúc này, sự tập trung được dồn vào phần “lý thuyết” của toán, và người học cần quen với các đối tượng toán học trừu tượng mà chưa cần quan tâm đến ý nghĩa thực sự đằng sau. Người học ở giai đoạn này thường có thể nhận ra và sửa được những lỗi suy luận hình thức.

– Giai đoạn “sau chặt chẽ”: Người học đã quen với tính hình thức. Họ quay trở lại với trực giác, nhưng lúc này với một nền tảng lý thuyết chặt chẽ. Họ có thể dùng các suy luận cảm tính, nhưng hoàn toàn có thể chuyển sang ngôn ngữ hình thức khi cần thiết. Họ vẫn có thể mắc lỗi, nhưng đó là vì họ không còn cần đến tính hình thức nữa; cụ thể, họ có thể nhầm lẫn đôi lúc việc dịch trực giác sang các suy diễn hình thức, nhưng những lỗi này thường nhỏ và bù trừ lẫn nhau, và có thể sửa một cách dễ dàng. Lúc này, họ nói về ứng dụng, về tầm nhìn của toán học.

Như vậy, mặc dù bề ngoài của toán học là những chứng minh hình thức tuyệt đối và chặt chẽ, câu chuyện đằng sau thực ra thú vị hơn nhiều. Để giải quyết một bài toán chưa gặp bao giờ, bạn thực sự cần một sự thấu hiểu và trực giác sâu sắc cho nó (tất nhiên, với giả định rằng bạn đã quen với các suy luận hình thức). Người làm toán thường biết được (bằng trực giác) rằng một kết quả nào đó là đúng rất lâu trước khi thực sự chứng minh được nó. Quá trình giải một bài toán thường như sau:

– Hiểu bài toán nói gì.

– Dịch nó một cách chính xác sang ngôn ngữ toán.

– Dùng các suy luận trực giác, phân tích, phán đoán lời giải, đưa ra giả thuyết, có những cảm nhận mơ hồ về lời giải…

– Viết lại các phán đoán trên bằng ngôn ngữ toán.

– Diễn tả lại đáp án dưới dạng ngôn ngữ tự nhiên và trực giác.

Tính hình thức trong toán không hề loại bỏ hoàn toàn trực giác. Nó giữ lại trực giác tốt và loại bỏ các trực giác tồi (sự ngộ nhận).

Để vượt qua giai đoạn “chặt chẽ” đòi hỏi sự kiên nhẫn rất cao (thậm chí là một chút cứng đầu). Giai đoạn này sẽ khó khăn (nhưng có việc gì hay ho mà không khó khăn?). Tính hình thức, vốn rất cần thiết trong toán học, đã khiến cho nhiều người trở nên khiếp sợ nó. Đối với nhiều người, toán học không gì hơn ngoài một mớ lý thuyết rối rắm dùng để tra tấn học sinh. Một trong những nguyên nhân không nhỏ của hiểu lầm này đến từ cách dạy và học toán. Các cuốn sách toán thường trình bày theo thứ tự: nêu định nghĩa đối tượng, phát biểu và chứng minh các tính chất của đối tượng, cuối cùng là áp dụng giải quyết một vấn đề. Tuy nhiên, quá trình tư duy để xây dựng ra một đối tượng toán học là: từ vấn đề cần giải quyết, phán đoán, xây dựng, tổng quát hóa… cuối cùng mới là một định nghĩa hình thức.

Cần phải là thiên tài để làm toán?

Như đã bàn ở trên, toán học được số đông coi là khó, từ đó dẫn đến quan niệm rằng việc làm toán chỉ dành cho những cá nhân đặc biệt thông minh. Vậy có thật sự rằng cần phải là thiên tài để có thể làm toán không? Câu trả lời ngắn gọn là “không”. Tất cả những gì bạn cần để có thể “học” toán là khả năng đọc hiểu, tư duy trừu tượng và quan trọng nhất là sự cứng đầu (persistence) cũng như kiên định (determination). Để “làm” toán, bạn có thể cần cần thêm thái độ chuyên nghiệp và tầm nhìn. Một chút thông minh là cần thiết, nhưng không phải theo kiểu siêu năng lực, tố chất thiên phú, có thể nghĩ ra những lời giải “từ trên trời rơi xuống” (ex nihilo) hay khéo léo nhìn ra những “lối tắt” mà không ai nhìn ra.

Trên thực tế, kiểu toán học “mưa dầm thấm lâu” thường được coi trọng hơn sự lắt léo, mẹo mực. Alexander Grothendieck đã mô tả hai phong cách toán học như sau: nếu coi một việc chứng minh một định lý như việc bóc vỏ một loại hạt rất cứng, cách thứ nhất là làm theo nguyên lý “búa và đục”: ta đập thật mạnh vào chiếc vỏ, theo nhiều hướng khác nhau nếu cần, cho đến khi chiếc vỏ vỡ ra. Cách thứ hai là nhúng loại hạt đó vào một chất lỏng (nước thường thì càng tốt), theo thời gian, chất lỏng sẽ thấm dần dần vào vỏ hạt, làm cho nó mềm dần theo thời gian, hàng tuần đến hàng tháng. Khi thời cơ đến, ta chỉ cần ép nhẹ tay vào vỏ hạt, và nó sẽ tự tách ra như một trái bơ!.

Tư tưởng của Grothendieck là toán học cần tuyệt đối theo phương pháp thứ hai. Chẳng hạn, các lý thuyết về hình học đại số mà ông phát triển đã dọn đường để tấn công “giả thuyết Weil”, một bài toán lớn vào thế kỉ XX. Một học trò của ông là Pierre Deligne đã hoàn tất việc chứng minh giả thuyết và nhận huy chương Fields, nhưng Grothendieck đã không hài lòng vì Deligne không tuân theo triết lý toán học của mình. “Cậu học trò 34 tuổi” Deligne đã dùng một chứng minh khéo léo mà thầy mình cho là “mẹo”, “không hề hiển nhiên” và “từ trên trời rơi xuống”. Quan hệ của hai người đã trở nên xấu đi sau đó.

Sir Andrew Wiles, nhà toán học nổi tiếng người Anh đã chứng minh thành công Định lý cuối cùng của Fermat, mô tả trải nghiệm của mình về toán học: Nó giống như bước vào một căn nhà tối, bạn bước vào căn phòng đầu tiên, hoàn toàn không thấy gì cả, bạn bắt mò mẫm và loạng choạng, có thể sẽ vấp ngã. Dần dần bạn sẽ biết được ở đâu có đồ vật gì. Sau một thời gian (khoảng 6 tháng hoặc kiểu vậy), bạn tìm ra công tắc đèn điện và bật lên, rồi tất cả mọi thứ được phơi bày một cách rõ ràng, bạn biết chính xác mình đang ở đâu. Bạn đến căn phòng tiếp theo và tiếp tục mò mẫm 6 tháng trong bóng tối.

Các nhà toán học thường được phác họa như những thiên tài đơn độc (và hơi “điên”), như những người làm toán với một nguồn cảm hứng bí ẩn không thể giải thích, và rồi một ngày đẹp trời tung ra một lời giải thiên tài không ai hiểu được. Đây là một định kiến lớn. Họ đúng là có hiểu biết sâu sắc về toán, nhưng đó là thành quả của hàng thập kỷ làm việc bền bỉ. Họ cần trao đổi ý tưởng với nhau rất nhiều, cũng như phát triển các kết quả của mình dựa trên những công trình trước đó thay vì xây dựng tất cả mọi thứ từ đầu. Sự tiến bộ của toán học, cũng như các ngành khoa học khác, thường chậm rãi và đều đặn. Các thành quả nghiên cứu toán học hiện nay đều đến một cách tự nhiên sau một quá trình tích tụ dài hơi, dưới sự chỉ dẫn của trực giác, sách vở chính thống cũng như một chút may mắn. “Điều này chắc chắn là thỏa mãn hơn nhiều so với hình ảnh lãng mạn khi tôi còn là sinh viên, rằng toán học phát triển chủ yếu là do những ý tưởng thần bí từ những người có tư chất thiên tài” – Terence Tao chia sẻ. Theo một khía cạnh nào đó, tư chất thiên tài đơn thuần thậm chí có thể ảnh hưởng tiêu cực đến sự phát triển lâu dài.

Bằng một cách nào đó, vô tình hay không, nhiều giáo viên, giảng viên đã khiến cho toán trở nên phức tạp, rối rắm. Môn toán vô hình trung đã trở thành nỗi ác mộng, một thứ “bí thuật” chỉ dành cho những học sinh ưu tú nhất. Điều này đối lập hoàn toàn với tư tưởng chủ đạo của toán học rằng mọi thứ phải đơn giản và rõ ràng. Đồng thời, cách giảng dạy như hiện tại cũng biến môn toán thành một thứ “quà cáp thần bí dành riêng cho thiên tài” đào tạo ra số lượng lớn những người đồng ý với các định kiến sai lầm về môn toán và các nhà toán học được tô vẽ nên bởi văn hóa đại chúng.

Đăng bởi: Thị Yên Nguyễn